Maximale untere Treppenfunktion/1-t^3/0 bis 1/Zwei Teilungspunkte/Beispiel

Wir wollen für die Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)=1-t^{3},$

und das Einheitsintervall ${}[0,1]$ bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte ${}0<x<y<1$ das Treppenintegral der zugehörigen (dreistufigen) unteren Treppenfunktion maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion

${}f(x,y)=x{\left(1-x^{3}\right)}+{\left(y-x\right)}{\left(1-y^{3}\right)}=x-x^{4}+y-y^{4}-x+xy^{3}=-x^{4}+y-y^{4}+xy^{3}\,$

beschrieben. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-4x^{3}+y^{3}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=1-4y^{3}+3xy^{2}\,.$

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung

${}y={\sqrt[{3}]{4}}x\,$

und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung

${}1-16x^{3}+3\cdot 4^{2/3}x^{3}=0\,,$

also

${}{\left(16-3\cdot 4^{2/3}\right)}x^{3}=1\,$

bzw.

${}x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\,.$

Somit ist

${}P=\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}},\,{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\right)\cong \left(0,4911,\,0,7796\right)\,$

der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt, sie ist

${}\operatorname {Hess} _{P}\,f={\begin{pmatrix}-12x^{2}&3y^{2}\\3y^{2}&-12y^{2}+6xy\end{pmatrix}}\,$

und in ${}P$ gleich

${\begin{pmatrix}-2,8942&1,8233\\1,8233&-4,9961\end{pmatrix}},$

also negativ definit nach Fakt. Daher liegt in ${}P$ ein Maximum nach Fakt vor.