Wir wollen für die Funktion
-
und das
Einheitsintervall
bestimmen, für welche
Unterteilungspunkte
das
Treppenintegral
der zugehörigen
(
-stufigen)
unteren Treppenfunktion
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion

beschrieben. Die
partiellen Ableitungen
dieser Funktion sind
-

-

für
und
-

Wir bestimmen die
kritischen Punkte,
indem wir die partiellen Ableitungen gleich
setzen. Die ersten
Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
-

für alle
. Dies zeigt man durch
Induktion,
der Induktionsanfang
(
)
ist trivial,
folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
-

Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
-

und somit
.
Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die
Hesse-Matrix
ist
(unabhängig vom Punkt)
gleich
-
Diese Matrix ist
negativ definit
nach Fakt.
Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung
nach Fakt
das Maximum vor.