Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Gerade und Kreis/Radius ist Koppelungsabstand/Beispiel

Wir betrachten das mechanische System aus Einheitskreis und ${}x$-Achse, wo der Koppelungsabstand ${}d=1$ ist. Das mechanische System wird dann durch die beiden Gleichungen

1. ${}x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1$
2. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}^{2}=1$

beschrieben. Es handelt sich um den Durchschnitt von zwei Zylindern mit gleichem Radius und sich treffenden Innenachsen, d.h. wir können auf die Ergebnisse von Beispiel zurückgreifen. Dort wurde gezeigt, dass der Durchschnitt durch zwei Ellipsen gegeben ist, die sich in zwei Punkten schneiden. Diese Beschreibung muss sich auch im Kontext des mechanischen Systems wiederfinden. Welche Stangenkonfigurationen entsprechen der einen Ellipse, welche der anderen, welche Konfigurationen liegen auf beiden?

Machen wir uns also einen Überblick über die erlaubten Konfigurationen. Wenn der Geradenpunkt (also der Punkt auf der Geradenbahn) der Kreismittelpunkt ist, so ist jeder Punkt des Kreises als Kreisbahnpunkt erlaubt. Die radialen Strahlen des Kreises bilden also eine Schar von erlaubten Stangenkonfigurationen, und diese bilden zusammen die eine Ellipse. Die andere Ellipse entspricht der Menge der Stangenkonfigurationen, bei denen der Geradenbahnpunkt von ${}-2$ nach ${}+2$ läuft und dabei den Kreisbahnpunkt im oberen oder unteren Kreisbogen vor sich herschiebt bzw. hinterherzieht. Es gibt zwei Stangenkonfigurationen, die zu beiden Familien gehören, nämlich die mit dem Kreismittelpunkt als Geradenbahnpunkt und ${}(0,1)$ bzw. ${}(0,-1)$ als Kreisbahnpunkt. In einer solchen Stangenkonfiguration kann das mechanische System nicht nur vorwärts und rückwärts laufen, sondern wesentlich die Richtung wechseln.

Wie sehen die Trajektorien eines Punktes auf der bewegten Stange aus? Die Gesamttrajektorie ist die Vereinigung der beiden Trajektorien, die zu den beiden irreduziblen Komponenten des Systems gehören. Wie viele Selbstdurchdringungspunkte gibt es?

Für einen Punkt ${}P=P_{1}+u(P_{2}-P_{1})$ der Koppelungsstange sind die Koordinaten gleich

${}(z_{1},z_{2})=(x_{1}+u(x_{2}-x_{1}),uy_{2})\,.$

Bei ${}u=0$ ist die Trajektorie das reelle Intervall ${}[-2,2]$, und bei ${}u=1$ ist es der Einheitskreis. Es sei also nun ${}u\neq 0,1$. Die Projektion der radialen Komponenten des Sytems ist einfach der Kreis mit Radius ${}u$. Die Projektion der anderen Ellipse ist wieder eine Ellipse, die den Kreis in unterschiedlicher Weise schneiden kann. Siehe auch Aufgabe.