Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Zwei Geraden/Beispiel

Seien ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ zwei Geraden in der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ und sei ${}S$ eine bewegliche Gerade (eine Stange) mit zwei Punkten ${}P_{1},P_{2}$, die voneinander den Abstand ${}d$ haben. Erlaubte Konfigurationen des Systems sind diejenigen Lagen von ${}S$, für die gleichzeitig ${}P_{1}\in L_{1}$ und ${}P_{2}\in L_{2}$ gelten. Die Geraden seien durch ${}L_{1}=\{(x,y)|\,a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\}$ und ${}L_{2}=\{(x,y)|\,a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\}$ festgelegt.

Die erlaubten Konfigurationen werden dann gemäß der Bemerkung durch die drei Bedingungen festgelegt:

1. ${}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}=c_{1}$,
2. ${}a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}=c_{2}$,
3. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}$.

Die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen sind (einzeln betrachtet) dreidimensionale Unterräume. Die Lösungsmenge der dritten Gleichung kann man als das Produkt eines Kreises (in den Variablen $x_{2}-x_{1}$ und $y_{2}-y_{1}$) mit einer affinen Ebene auffassen. Das ist eine Art von Zylinder, wobei allerdings die Fasern zweidimensional sind. Wie kann man die gemeinsame Nullstellenmenge beschreiben, und wie sieht die Trajektorie des mechanischen Systems aus, die ein Punkt ${}P\in S$ erzeugt?

Durch eine Variablentransformation kann man annehmen, dass die erste Gerade die ${}x$-Achse ist, also durch die Gleichung ${}y=0$ definiert ist, und die andere durch ${}ax+by=c$. Das liefert für das System die Bedingung ${}y_{1}=0$, und das bedeutet, dass man die Variable ${}y_{1}$ eliminieren kann. Man gelangt dann zu einem System mit den drei Variablen ${}x_{1},x_{2},y_{2}$ und den zwei Bedingungen

1. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}^{2}=d^{2}$,
2. ${}ax_{2}+by_{2}=c$.

Parallele Geraden

Wenn die zweite Gerade parallel zur ersten ist, so ist ${}a=0$ und man kann die zweite Gleichung nach ${}y_{2}$ auflösen und erhält ${}y_{2}={\frac {c}{b}}=e$ ($b\neq 0$, sonst liegt keine Gerade vor). Die Zahl ${}e$ ist der Abstand der parallelen Geraden. Man kann nun auch ${}y_{2}$ eliminieren, und übrig bleibt die einzige Gleichung ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+e^{2}=d^{2}$, also

${}(x_{2}-x_{1})^{2}=d^{2}-e^{2}=(d-e)(d+e)\,.$

Bei ${}e>d$ gibt es hierfür keine Lösung (der konstante Abstand der parallelen Geraden ist größer als der Koppelungsabstand auf der Stange).

Bei ${}e=d$ ergibt sich die Bedingung ${}x_{1}=x_{2}$. Dies entspricht der Situation, wo der Parallelabstand der Geraden gleich dem Koppelungsabstand ist. Dann sind die einzigen erlaubten Konfigurationen diejenigen, wo die Stange senkrecht zu den beiden Geraden ist. Die Lösungsmenge ist also eine Gerade. Für jeden Punkt auf der Stange ist die Trajektorie einfach eine weitere parallele Gerade.

Es sei nun ${}e<d$. Dann ist

${}x_{2}-x_{1}=\pm {\sqrt {(d-e)(d+e)}}\,.$

Die Lösungsmenge besteht aus zwei disjunkten Geraden. Dies entspricht den beiden unterschiedlichen Einhängungen, die nicht ineinander überführt werden können. Das mechanische System besteht also aus zwei Zusammenhangskomponenten. Für einen Punkt auf der Stange ergibt sich aber bei beiden Einhängungen die gleiche Trajektorie, nämlich eine parallele Gerade, die in gewissem Sinne doppelt durchlaufen wird. Hier besteht also die Lösungsmenge des vollen mechanischen Systems aus zwei (parallelen) affinen Geraden im vierdimensionalen affinen Raum, deren Trajektorien zu einem fixierten Punkt aber nur eine Gerade ist.

Nicht parallele Geraden

Wir betrachten nun den Fall, wo die beiden Geraden nicht parallel sind. Dann treffen sie sich und die Lösungsmenge kann nicht leer sein. Wir können durch eine weitere lineare Transformation annehmen, dass der Schnittpunkt gleich dem Nullpunkt ${}(0,0)$ ist. Die zweite Gleichung wird dann durch ${}x_{2}=ey_{2}$ beschrieben. Damit kann man ${}x_{2}$ eliminieren und erhält in den beiden Variablen ${}x_{1},y_{2}$ die einzige Gleichung

${}(ey_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}^{2}=d^{2}\,.$

Der Konfigurationsraum des mechanischen Systems spielt sich also in einer (durch $y_{1}=0$ und $x_{2}=ey_{2}$ definierten) Ebene ab und wird durch eine Quadrik beschrieben. Betrachtet man ${}ey_{2}-x_{1}$ als eine neue Variable, so sieht man, dass es sich um eine Ellipse (in den Koordinaten $x_{1},y_{2}$; in den Koordinaten $ey_{2}-x_{1},y_{2}$ ist es ein Kreis) handelt.

Wie sehen die Trajektorien aus? Es sei ${}P$ derjenige Punkt auf der Stange, der durch ${}P_{1}+t(P_{2}-P_{1})$ gegeben ist. Nach der Situationsbeschreibung hat der Punkt ${}P$ die Koordinaten

$((1-t)x_{1}+tey_{2},ty_{2}),$

wobei ${}(ey_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}^{2}=d^{2}$ sein muss. In den Extremfällen ${}t=0$ und ${}t=1$ ergeben sich ${}(x_{1},0)$ (${}x_{1}$ beliebig) bzw. ${}(ey_{2},y_{2})$ (${}y_{2}$ beliebig) als Lösungsmenge. Hierbei muss nach wie vor ${}(ey_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}^{2}=d^{2}$ erfüllt sein, d.h. es muss zu gegebenem ${}x_{1}$ (bzw. ${}y_{2}$) eine Lösung der Gleichung in der anderen Variablen geben. Die gibt es, wenn ${}x_{1}$ (bzw. ${}y_{2}$) hinreichend klein ist. Insgesamt ergeben sich also gewisse Strecken auf den Ausgangsgeraden. Die Punkte ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ müssen ja auf ihren Bahnen bleiben, und können sich von der anderen Geraden nicht beliebig weit entfernen.

Es sei also ${}t\neq 0,1$. Aus dem Ansatz

${}(x,y)=((1-t)x_{1}+tey_{2},ty_{2})\,$

folgt ${}y_{2}={\frac {y}{t}}$ und ${}x_{1}={\frac {x-tey_{2}}{1-t}}={\frac {x-ey}{1-t}}$ (das Urbild ist also eindeutig festgelegt). Die Gleichung wird dann zu

${}{\left({\frac {ey}{t}}-{\frac {x-ey}{1-t}}\right)}^{2}+{\frac {y^{2}}{t^{2}}}=d^{2}\,,$

was wieder die Gleichung einer Ellipse ist.