Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen

Einleitung

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Diese Seite zum Thema Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Struktur der Daten für die ehrdimensionale lineare Regression
  • (2) Definition von Abbildung in GNU R

Zielsetzung

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Diese Lernressource zu Daten und Abbildungen bei einer mehrdimensionale lineare Regression/ hat das Ziel, die Struktur der Daten und die Definition von Abbildung in GNU R zu behandeln. Diese Grundkenntnisse sind notwendig um später bei der Zerlegung einer Funktion   die Ausgangsdatenpunkte der Regression entsprechen den Komponentenfunktionen zuordnen zu können.

Lernvoraussetzungen

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Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale lineare Regression/Daten und Abbildungen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

In einer standardmäßigen Betrachtung von Funktionen und Abbildungen sind die Funktionsparameter bekannt und man berechnet mit den bekannten Funktionsparameter bekannt und Werte mit der unabhängigen Variable   die Funktion aus, um   zu erhalten. Bei einer Regression sind die Rollen vertauscht. Dort sind die Datenpunkte   bekannt und man sucht die Funktionsparameter, mit denen man die Daten am besten dargestellt werden können.

Daten für die Regression

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Die Daten   für die mehrdimensionale lineare Regression bestehen aus Datenpunkten der Form  :

 

Rechenbespiel

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Parallel zu den folgenden Ausführung ist ein Rechenbeispiel ausgeführt

Daten für das Lineare Modell

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Analog zu einem eindimensionalen Fall für  ,   und einem Datenpunkt   hat man bei mehrdimensionale lineare Regression Datenpunkte der Form   für  ,  

Beispieldaten affine Abbildung

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Ist   und   und   gegeben. Die Datenpunkte   für ein mehrdimensionales affines Modell haben die Struktur   und  . Damit wäre der Datenpunkt

 

Bemerkung Semantik - Raumposition und Messungen am Ort

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Dabei bezeichnet   einen Punkt im dreidimensionalen Raum und   z.B. Temperatur   und die Luftfeuchtigkeit   als Messungen an dem Ort  .

Affines Modell

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Die Funktionvorschrift von   ist dabei eine vektorwertige Funktion, die durch eine Matrix   und einem Vektor   festgelegt ist. Die Abbildung die dann als affines Modell eine Verkettung einer linearen Abbildung   mit Verschiebung um   und kann wie folgt berechnet werden (siehe Rechenbeispiel)

 .

Implementation in R - Affine Abbildung

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Die Implementation der affinen Abbildung in R gliedert sich in folgende Schritte:

  • Definition von Matrizen/Vektoren
  • Matrixmultiplikation
  • Funktionsdefinition

Definition von Matrizen/Vektoren

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Wir definieren nun die obige Matrix   in R über

   A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3)
   b <- matrix(c(5,8), ncol=1)

Analog definiert man die Vektoren mit unterschiedlicher Zeilenanzahl für   und  .

   x <- matrix(c(4,2,1), ncol=1)
   y <- matrix(c(31,19), ncol=1)

Matrixmultiplikation in R

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Mit den definierten Matrizen kann man nun die Matrixmultiplikation berechnen und direkt das Ergebnis der affinen Abbildung  .

  A %*% x
  A %*% x + b

Definition einer affinen Funktion in R

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Nun definiert man die Abbildung   mit   (siehe Rechenbeispiel)

  f <- function (px) {
    ## px : Vektor - unabhängige Variable
    A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3)
    b <- matrix(c(5,8), ncol=1)
    return <-  A %*% px + b
    ## Rückgabewert: return Berechneter y-Vektor für Parameter px 
    return
  }
  
  ## Aufruf der Funktion für den Vektor x
  x <- matrix(c(4,2,1), ncol=1)
  f(x)

Siehe auch

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Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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