Mehrdimensionale lineare Regression/Zerlegung

Einleitung

Die Lernresource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression und Zerlegung in Komponentenfunktionen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Dabei wird lineare Funktion $f$ mit einem mehrdimensionalen Definitionsbereich $\mathbb {R} ^{n}$ und mehrdimensionalen Wertebereich $\mathbb {R} ^{m}$ :

(1) in Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ mit $k\in \{1,\ldots ,m\}$ zerlegt,
(2) die algebraische Darstellung der Komponentenfunktionen $f_{k}$ betrachtet und
(3) die Implementation in GNU R gezeigt.

Zielsetzung

Diese Lernressource zu Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

Zerlegung in Komponentenfunktionen

Mit der im vorherigen Abschnitt genannt Transformation eines affine Problems in ein lineare betrachten wir im Folgenden nur lineare Zusammenhänge $f(x):=A\cdot x\in \mathbb {R} ^{m}$ mit den entsprechende Daten. Die lineare Abbildung $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ zerlegt man nun zur weiteren Vereinfachung noch in die Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ mit $k\in \{1,\ldots m\}$ .

Matrix aus Zeilenvektoren

Zunächst stellt man die Matrix $A$ mit den Zeilenvektoren $a_{k}\in Mat(1\times n,\mathbb {R} )$ dar.

A={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )

Matrixmultiplikation und Skalarprodukte

Die Matrixmultiplikation lässt sich nun durch einen Vektor aus Skalarprodukten ersetzen.

A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}\langle a_{1},x\rangle \\\vdots \\\langle a_{m},x\rangle \end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )

Damit lassen sich die Komponentenfunktionen $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ durch $f_{k}(x)=\langle a_{k},x\rangle$ darstellen.

Komponentenfunktionen

Mit der obigen Zerlegung betrachtet man zunächst eine lineare Abbildung mit einem eindimensionalen Wertebereich $y\in \mathbb {R}$ . Die Abbildung $f_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ist damit durch das Standardskalprodukt mit einem Vektor $a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ definiert der Werte aus $\mathbb {R}$ .

\langle a,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}

Berechnung von Komponentenfunktionen in R

Gegeben sind nun zwei Vektoren $a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ und $x:=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ . Das euklische Skalarprodukt wird als Summe der komponentenweisen Produkte in GNU R implementiert und liefert Werte in $\mathbb {R}$ .

   a <- c(1,-1,-2)
   x <- c(4,2,1)
   a*x  ## komponentenweises Produkt der Vektoren
   sum(a*x) ## Summe der Vektorkomponenten

Die beiden im Beispiel angegebenen Vektoren $a$ und $x$ stehen senkrecht aufeinander - $\langle a,x\rangle =0$ .

Implementation der Komponentenfunktion in R

Nun definiert man die Komponentenfunktion $f_{a}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ und mit der definierten Funktion wird $f_{a}(4,2,1)=15$ berechnet.

   f_a <- function (px) {
    ## px : Vektor - unabhängige Variable
    a <- c(1,3,5)
    return <-  sum(a * px)
    ## Rückgabewert: return Berechneter y-Wert für Parameter px 
    return
  }
  
  ## Aufruf der Funktion für den Vektor x
  x <- c(4,2,1)
  f_a(x) ## Ergebnis 15

Siehe auch

Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung
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