Mehrdimensionale lineare Regression/Gesamtfehler aller Fehlerfunktionen

Einleitung

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In den ersten Abschnitten der Lernressource wurde eine lineare Abbildung   mit   und   in lineare Funktionale der Form   zerlegt und für diese linearen Funktionale   mit   eine lineare Regression durchgeführt.

Fehler pro Matrixzeile

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Insgesamt trägt jede Matrixzeile durch den Fehler von   für jedes   zum Gesamtfehler der mehrdimensionale linearen Regression der linearen Abbildung   bei.

Unabhängige Regression für die Matrixzeilen

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Die lineare Regression für   können für jedes   getrennt betrachtet werden, da die Koeffizienten der Matrix   in Abhängigkeit von dem Zeilenindex   nur auf die  -te Ausgabekomponente über das Skalarprodukt wirken.

Gesamtfehler des mehrdimensionalen Regression

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Für die Berechnung des Gesamtfehlers der muss man die quadratischen Fehler über alle Datenpunkte aggregrien. Die Daten   für die mehrdimensionale lineare Regression bestehen aus Datenpunkten der Form  :

 

Daten der Komponentenfunktionen

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Die gesamten Daten   werden nun entsprechend Komponente   aus dem Wertebereich der linearen Abbildung   in   Trainingsdaten   für den Komponentenfunktionen   zerlegt, wobei jeweils aus   die  -Komponente   verwendet wird.

 


Berechnung für die Komponenten Funktion

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Durch die Zerlegung in Komponentenfunktionen minimiert man den Fehler für jeden Zeile der Matrix separat. Der folgende Gesamtfehler bezieht sich daher auf die Funktion   für ein gesuchtes   mit minimalem Gesamtfehler für die Daten  .

Aggregierter Gesamtfehler der Komponentenfunktionen

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Für die Berechnung des Gesamtfehlers bzgl. einer Matrix   erfolgt über die Zerlegung von   werden in die Komponentenfunktionen   und der Aggregation der Einzelfehler   durch Summation über aller Matrixzeilen  .

 

Dimension der Daten

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Die Zerlegung von   in die Komponentenfunktionen   verändert in der obigen Notation nur die Dimension der Daten im Wertebereich der linearen Abbildung, denn mit   gilt   aber   und  .


Siehe auch

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Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Mehrdimensionale lineare Regression' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.