Menge/Potenzmenge/Komplement/Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge einer Menge ${}M$ mit dem Komplement ${}M\setminus T$.

1. Zeige

   ${}{\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,.$

2. Es sei ${}M=\{a,b,c,d,e\}$ und ${}T=\{b,c,e\}$. Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge ${}\{a\}$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(T)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$?
3. Es sei ${}M=\mathbb {N}$ und ${}T$ die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge ${}A\subseteq \mathbb {N}$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ und zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet.
4. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\,?$

5. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\,?$

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