Meromorphe Funktion/C/Residuum und Ordnung/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}{\mathcal {M}}_{P}$ die Menge (der Keime) der meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von ${}P$ definiert sind. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}({\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\},\cdot ,1)&{\stackrel {\text{ log. Abl. }}{\longrightarrow }}&({\mathcal {M}}_{P},+,0)&\\\!\!\!\!\!\operatorname {ord} _{P}\!\!\downarrow &&\downarrow \operatorname {Res} _{P}\!\!\!\!\!\!\!\!&\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Gruppenhomomorphismen

vorliegt.

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