Meromorphe Funktion/Tangens/Ordnung/Beispiel

Der Tangens

${}\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\,$

ist nach Fakt eine meromorphe Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$. Die Nullstellen des Kosinus sind ${}{\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$, da der Sinus in diesen Punkten keine Nullstelle besitzt, hat der Tangens in diesen Punkten einen Pol. Da die Nullstellenordnung des Kosinus in den Nullstellen gleich ${}1$ ist, ist die Polstellenordnung des Tangens gleich ${}1$, der Tangens besitzt also in diesen Punkten die Ordnung ${}-1$. In den Punkten ${}\mathbb {Z} \pi$, den Nullstellen des Sinus, besitzt der Tangens die Ordnung ${}1$, in allen weiteren Punkten die Ordnung ${}0$.