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Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
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Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt
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Beweis
|
Aufgabe
Es sei
f
:
M
⟶
R
{\displaystyle f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }
eine messbare nichtnegative Funktion und
a
∈
R
≥
0
{\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}}
. Es sei
T
=
{
x
∈
M
∣
f
(
x
)
≥
a
}
{\displaystyle {}T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}}
. Dann ist
T
×
[
0
,
a
]
⊆
S
(
f
)
{\displaystyle {}T\times [0,a]\subseteq S(f)\,}
(im Subgraphen), also
a
⋅
μ
(
T
)
=
(
μ
⊗
λ
1
)
(
T
×
[
0
,
a
]
)
≤
(
μ
⊗
λ
1
)
(
S
(
f
)
)
=
∫
M
f
d
μ
.
{\displaystyle {}a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.}
Zur gelösten Aufgabe