Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass die Urbilder von Mengen der Form ${}]a,\infty ]$ unter der Grenzfunktion ${}f$ messbare Mengen sind. Daraus folgt nach Fakt die Messbarkeit von ${}f$. Für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ gilt die Gleichheit

${\left\{x\in M\mid f(x)>a\right\}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{n_{0}\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{n\geq n_{0}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\right)}\,.$

Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst ${}f(x)>a$. Dann gilt auch ${}f(x)>a+{\frac {1}{k}}$ für ein hinreichend großes ${}k$. D.h. dass ${}]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ eine offene Umgebung von ${}f(x)$ ist. Dann gehört ${}x$ auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}f_{n}(x)$ ebenfalls zu ${}]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ gehören. Wenn hingegen ${}x$ zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es ${}k,n_{0}\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung ${}f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}$ besteht. Dann gilt für den Limes ${}f(x)\geq a+{\frac {1}{k}}$ und damit ${}f(x)>a$.
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.

Zur bewiesenen Aussage