Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da ${}V$ offen ist gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit ${}U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$. Aufgrund von (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit

${}f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$

und wir können ${}U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ nehmen.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen ${}a$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ und ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Für die offene Menge ${}V=U{\left(b,\epsilon \right)}$ gibt es nach (2) eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und ${}f(U\cap T)\subseteq V$. Wegen der Offenheit von ${}U$ gibt es auch ein ${}\delta >0$ mit ${}U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$. Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert, gibt es ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit ${}x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$ für alle ${}n\geq N$. Für diese ${}n$ ist dann ${}f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$, d.h. die Bildfolge konvergiert gegen ${}b$.
${}(3)\Rightarrow (1)$.  Nehmen wir an, dass ${}b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ ein ${}x\in T$ gibt mit ${}x\in U{\left(a,\delta \right)}$ und mit ${}f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$. Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche ${}\delta =1/n$ , ${}n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge

$x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert dann gegen ${}a$, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aber nicht gegen ${}b$,  im Widerspruch zu (3).

Zur bewiesenen Aussage