Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei ${}b\in L$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Abbildung ${}f$ besitzt in ${}a$ den Grenzwert ${}b$.
2. Zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq L$ mit ${}b\in V$ gibt es eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}a\in U$ und mit ${}f(U\cap T)\subseteq V$.
3. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen