Metrische Räume/Produkt/Cauchy/Komponentenweise/Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei ${}L\times M$ mit der Produktmetrik versehen. Zeige, dass eine Folge

${}z_{n}=(x_{n},y_{n})\in L\times M\,$

genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn die beiden Komponentenfolgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen sind.

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