Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei
eine Folge in
, die gegen
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei
gegeben. Wegen (2) gibt es ein
mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von
gegen
gibt es eine natürliche Zahl
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Nach der Wahl von
ist dann
-
sodass die Bildfolge gegen

konvergiert.
Es sei (3) erfüllt und
vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu
maximal gleich
ist, deren Wert
unter der Abbildung aber zu
einen Abstand größer als
besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
,
.
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge
konvergiert gegen
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu
zumindest
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).