Metrische Räume/Stetige Abbildung/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}a\in {\tilde {T}}$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}a$ ein Berührpunkt von ${}T$ ist und da der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ existiert (bei ${}a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle ${}x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Es sei nun ${}y\in {\tilde {T}}$ mit ${}d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$. Es gibt ein ${}x\in T$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$. Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ${}y$ ist ${}d{\left(x,a\right)}\leq \delta$. Insgesamt ist daher

${}d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage