Metrischer Raum/Ein Punkt/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es ist zu zeigen, dass ${}M\setminus \{P\}$ offen ist. Es sei dazu ${}Q\in M\setminus \{P\}$, also ${}Q\neq P$. Dann ist

${}d(Q,P)=r>0\,$

und somit ist

${}Q\in U{\left(Q,r\right)}\subseteq M\setminus \{P\}\,,$

da ja ${}P$ nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus ${}M\setminus \{P\}$ eine offene Ballumgebung, die ganz in ${}M\setminus \{P\}$ drinliegt und daher ist diese Menge offen.

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