Metrischer Raum/Folge und Häufungspunkte/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist. Es sei dazu ein Punkt ${}y\in M$, ${}y\not \in A$, gegeben. D.h. dass ${}y$ weder ein Folgenglied noch ein Häufungspunkt der Folge ist. Da ${}y$ kein Häufungpunkt ist bedeutet, dass es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass es in ${}U{\left(y,\epsilon \right)}$ nur endlich viele Folgenglieder gibt. Diese Folgenglieder seien

$y_{1}=x_{n_{1}},\,y_{2}=x_{n_{2}},\ldots ,y_{k}=x_{n_{k}}.$

Da ${}y$ selbst kein Folgenglied ist, ist ${}y\neq y_{i}$ für alle ${}i=1,\ldots ,k$. Daher ist ${}d(y,y_{i})>0$ für alle ${}i=1,\ldots ,k$ und somit

$\delta :={\min {\left(d(y,y_{i}),i=1,\ldots ,k\right)}}>0.$

Damit ist ${}U{\left(y,\delta \right)}$ eine offene Umgebung von ${}y$, die keine Folgenglieder enthält. Dies gilt dann erst recht für ${}U{\left(y,{\frac {\delta }{2}}\right)}$. Diese Menge enthält aber auch keinen Häufungspunkt der Folge. Wäre nämlich ${}z\in H\cap U{\left(y,{\frac {\delta }{2}}\right)}$, so würde es in ${}U{\left(z,{\frac {\delta }{2}}\right)}$ unendlich viele Folgenglieder geben, was wegen

$U{\left(z,{\frac {\delta }{2}}\right)}\subseteq U{\left(y,\delta \right)}\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}$

ein Widerspruch ist. Daher haben wir eine offene Umgebung von ${}y$ gefunden, die zu ${}A$ disjunkt ist.

Zur gelösten Aufgabe