Metrischer Raum/Folge und Häufungspunkte/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Sei dazu ein Punkt , , gegeben. D.h. dass weder ein Folgenglied noch ein Häufungspunkt der Folge ist. Da kein Häufungpunkt ist bedeutet, dass es ein derart gibt, dass es in nur endlich viele Folgenglieder gibt. Diese Folgenglieder seien

Da selbst kein Folgenglied ist, ist für alle . Daher ist für alle und somit

Damit ist eine offene Umgebung von , die keine Folgenglieder enthält. Dies gilt dann erst recht für . Diese Menge enthält aber auch keinen Häufungspunkt der Folge. Wäre nämlich , so würde es in unendlich viele Folgenglieder geben, was wegen

ein Widerspruch ist. Daher haben wir eine offene Umgebung von gefunden, die zu disjunkt ist.