Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Aus (2) folgt (1) mit Fakt wegen Aufgabe. Es sei (2) erfüllt. Es sei eine Cauchy-Folge in . Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn nicht total beschränkt ist, so gibt es ein derart, dass von den offenen Bällen keine endliche Auswahl ganz überdeckt. Wir können daher eine Folge konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu . der Abstand

ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.

Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei eine Folge in . Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen in folgender Weise: Es sei schon konstruiert. Es sei eine offene Überdeckung von , die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge derart, dass die , , in einem der Bälle liegen. Wir wählen eine Teilfolge mit und aufsteigend. Dann ist für stets

Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.