Metrischer Raum/Konvergente Folge/Offene Umgebungen/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere gegen ${}x$ und sei ${}x\in U$ eine offene Umgebung. Es gibt ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung ${}x_{n}\in U{\left(x,\epsilon \right)}$ und damit ${}x_{n}\in U$ gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von ${}x$. Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.

Zur gelösten Aufgabe