Es seien disjunkte
abgeschlossene Teilmengen
des metrischen Raumes . Zu jedem Punkt
gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von ein
derart, dass der offene Ball disjunkt zu ist. Entsprechend gibt es zu
ein
derart, dass disjunkt zu ist. Es ist dann
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eine offene Umgebung von und
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eine offene Umgebung von . Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte
und
derart, dass
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ist. Es sei ein Punkt darin. Dann ist
-
Ohne Einschränkung sei
.
Dann ist
-
was ein Widerspruch zur Wahl von
ist.