Metrischer Raum/Normal/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Es seien disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes . Zu jedem Punkt gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von ein derart, dass der offene Ball disjunkt zu ist. Entsprechend gibt es zu ein derart, dass disjunkt zu ist. Es ist dann

eine offene Umgebung von und

eine offene Umgebung von . Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte und derart, dass

ist. Es sei ein Punkt darin. Dann ist

Ohne Einschränkung sei . Dann ist

was ein Widerspruch zur Wahl von ist.