Metrischer Raum/Offene Kugel/Ist offen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}y\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Daher ist

${}d(x,y)<\epsilon \,.$

Wir setzen

${}\delta :=\epsilon -d(x,y)>0\,.$

Für ${}z\in U{\left(y,\delta \right)}$ ist nach der Dreiecksungleichung

${}{\begin{aligned}d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)\\&<d(x,y)+\delta \\&=d(x,y)+\epsilon -d(x,y)\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

also ist ${}U{\left(y,\delta \right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}$ und damit ist ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen.

Zur gelösten Aufgabe