Metrischer Raum/Zwei stetige Abbildungen/Gleichheitsort/Abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Es sei also ${}x\in L$ ein Punkt mit

${}f(x)\neq g(x)\,$

und sei

${}\delta =d{\left(f(x),g(x)\right)}>0\,.$

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und ${}g$ gibt es ${}\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in \mathbb {R} _{+}$ mit den Eigenschaften:

Wenn ${}d(x,x')\leq \epsilon _{1}$, dann ${}d(f(x),f(x'))\leq {\frac {\delta }{3}}$

und

Wenn ${}d(x,x')\leq \epsilon _{2}$, dann ${}d(g(x),g(x'))\leq {\frac {\delta }{3}}$.

Dies gilt dann auch für

${}\epsilon ={\min {\left(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right)}}\,.$

Daher gelten für ${}x'\in U{\left(x,\epsilon \right)}$ die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x'),g(x')\right)}&\geq d{\left(f(x),g(x)\right)}-d{\left(f(x),f(x')\right)}-d{\left(g(x),g(x')\right)}\\&\geq \delta -{\frac {2}{3}}\delta \\&={\frac {1}{3}}\delta \\&>0,\end{aligned}}$

d.h. diese offene Ballumgebung gehört vollständig zum Komplement.

Zur gelösten Aufgabe