Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Zerlegung/Aufgabe/Kommentar

Zunächst versuchen wir die Annahmen ein bisschen zu vereinfachen. Wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, können wir nach dem Trägheitssatz von Sylvester zu einer Minkowski-Form stets eine geeignete Orthogonalbasis wählen bezüglich derer die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen ist. Bezüglich dieser Basis hat die Minkowski-Form also eine besonders einfache Gestalt.

Wir betrachten nun das orthogonale Komplement zu dem eindimensionalen Raum . Wie wir bereits in Aufgabe und dem zugehörigen Kommentar gesehen haben, ist das orthogonale Komplement ein Untervektorraum von . Da wir hier nicht mit dem Standardskalarprodukt arbeiten, ist zunächst aber gar nicht klar, dass dieser Untervektorraum -dimensional ist und daher den gesamten Raum aufspannen wird, sondern a priori könnte die Dimension auch kleiner sein. Tatsächlich gilt für unsere Minkowski-Form bezüglich der Basis aber

Die Menge dieser Vektoren wird durch eine homogene lineare Gleichung in den Unbekannten beschrieben und ist daher ein -dimensionaler Unterraum, sodass in der Tat gilt.

Außerdem können wir die Negativdefinitheit auf direkt nachrechnen. Die Elemente dieses eindimensionalen Raums sind von der Form , , sodass für gilt.

Um uns von der Positivdefinitheit auf dem orthogonalen Komplement zu überzeugen, können wir eine neue Orthogonalbasis der Form konstruieren, wobei also eine Orthogonalbasis von ist. Nach dem Trägheitssatz gilt dann nämlich, dass die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix ist, die genau einen negativen Eintrag (nämlich ) und positive Einträge besitzt. Damit lässt sich zeigen, dass tatsächlich positiv ist für jeden Vektor des orthogonalen Komplements. Es ist empfehlenswert, dies explizit nachzurechnen.
Zur kommentierten Aufgabe