Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Zerlegung/Aufgabe/Kommentar

Zunächst versuchen wir die Annahmen ein bisschen zu vereinfachen. Wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, können wir nach dem Trägheitssatz von Sylvester zu einer Minkowski-Form stets eine geeignete Orthogonalbasis ${}e_{1},\dots ,e_{n}$ wählen bezüglich derer die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen ${}1,\dots ,1,-1$ ist. Bezüglich dieser Basis hat die Minkowski-Form also eine besonders einfache Gestalt.

Wir betrachten nun das orthogonale Komplement ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }$ zu dem eindimensionalen Raum ${}\mathbb {R} v$. Wie wir bereits in Aufgabe und dem zugehörigen Kommentar gesehen haben, ist das orthogonale Komplement ein Untervektorraum von ${}V$. Da wir hier nicht mit dem Standardskalarprodukt arbeiten, ist zunächst aber gar nicht klar, dass dieser Untervektorraum ${}(n-1)$-dimensional ist und daher ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v$ den gesamten Raum ${}V$ aufspannen wird, sondern a priori könnte die Dimension auch kleiner sein. Tatsächlich gilt für unsere Minkowski-Form bezüglich der Basis ${}e_{1},\dots ,e_{n}$ aber

$(\mathbb {R} v)^{\bot }=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in V\mid v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n-1}x_{n-1}-v_{n}x_{n}=0\}.$

Die Menge dieser Vektoren wird durch eine homogene lineare Gleichung in den Unbekannten ${}x_{1},\dots ,x_{n}$ beschrieben und ist daher ein ${}(n-1)$-dimensionaler Unterraum, sodass in der Tat ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v=V$ gilt.

Außerdem können wir die Negativdefinitheit auf ${}\mathbb {R} v$ direkt nachrechnen. Die Elemente dieses eindimensionalen Raums sind von der Form ${}sv$, ${}s\in \mathbb {R}$, sodass ${}\langle sv,sv\rangle =s^{2}\langle v,v\rangle =-s^{2}<0$ für ${}s\neq 0$ gilt.

Um uns von der Positivdefinitheit auf dem orthogonalen Komplement zu überzeugen, können wir eine neue Orthogonalbasis der Form ${}v,u_{2},\dots ,u_{n}$ konstruieren, wobei also ${}u_{2},\dots ,u_{n}$ eine Orthogonalbasis von ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }$ ist. Nach dem Trägheitssatz gilt dann nämlich, dass die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix ist, die genau einen negativen Eintrag (nämlich ${}\langle v,v\rangle <0$) und ${}n-1$ positive Einträge besitzt. Damit lässt sich zeigen, dass ${}\langle u,u\rangle$ tatsächlich positiv ist für jeden Vektor ${}u\neq 0$ des orthogonalen Komplements. Es ist empfehlenswert, dies explizit nachzurechnen.

Zur kommentierten Aufgabe