Minkowski-Raum/Lichtkegel/Faser/Regulär/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung für einen lichtartigen Vektor ist
${}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\right\rangle =x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0\,,$

deshalb kann man direkt

${}f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}\,$

nehmen.
Die Jacobi-Matrix zu ${}f$ ist
$\left(2x,\,2y,\,2z,\,-2w\right).$

Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn sämtliche Einträge dieses Vektors verschwinden, was nur im Nullpunkt ${}\left(0,\,0,\,0,\,0\right)$ der Fall ist.
Es sei
${}P=\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\neq \left(0,\,0,\,0,\,0\right)\,$

ein Element des Lichtkegels. Sei

${}v=\left(v_{1},\,v_{2},\,v_{3},\,v_{4}\right)\in T_{P}Y=\operatorname {kern} \left(2x,\,2y,\,2z,\,-2w\right)\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}x+v_{1}\\y+v_{2}\\z+v_{3}\\w+v_{4}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x+v_{1}\\y+v_{2}\\z+v_{3}\\w+v_{4}\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\left(x+v_{1}\right)}^{2}+{\left(y+v^{2}\right)}^{2}+{\left(z+v_{3}\right)}^{2}-{\left(w+v_{4}\right)}^{2}\\&=x^{2}+2xv_{1}+v_{1}^{2}+y^{2}+2yv_{2}+v_{2}^{2}+z^{2}+2zv_{3}+v_{3}^{2}-w^{2}-2wv_{4}-v_{4}^{2}\\&=x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}+2xv_{1}+2yv_{2}+2zv_{3}-2wv_{4}+v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}-v_{4}^{2}\\&=0\,\end{aligned}}$

aufgrund der Bedingungen an ${}P$ und ${}v$ , was die Lichtartigkeit bedeutet.
Betrachte ${}P={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ und
${}v={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}}\,.$

In diesem Fall ist

${}P+v={\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,$

nicht lichtartig.

Zur gelösten Aufgabe