Minkowskiraum/Dreidimensional/Zweischaliges Hyperboloid/Eingeschränkte riemannsche Struktur/Beispiel

Es geht um die obere Schale des zweischaligen Hyperboloids, versehen mit der von der Minkowsi-Form induzierten Bilinearform.

Wir versehen den ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit der Standard-Minkowski-Form, also der Bilinearform, die zur quadratischen Form ${}x^{2}+y^{2}-z^{2}$ gehört, und wir betrachten die Teilmenge

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,\,z>0\right\}}\,.$

Wenn man den ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt ${}P=(x,y,z)\in Y$ ist nach Fakt die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden ${}{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes ${}T_{P}Y$. Für einen beliebigen Tangentialvektor

${}v=a{\begin{pmatrix}x\\-y\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,v\right\rangle _{Y,P}&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}\\&={{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\bx\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}ax+bz\\-ay\\-bx\end{pmatrix}}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}\\&={\left(ax+bz\right)}^{2}+a^{2}{\left(-1-x^{2}+z^{2}\right)}-b^{2}x^{2}.\end{aligned}}$