Minorenringe/Realisierung als Invariantenring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten Paare von Matrizen

$(B,C),$

wobei ${}B$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}C$ eine ${}n\times k$-Matrix ist. Es gibt also insgesamt ${}n(k+m)$ Koordinaten. Die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ operiert auf der Menge dieser Matrizenpaare in folgender Weise: Zu ${}A\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ setzen wir

${}A\cdot (B,C):=(BA^{-1},AC)\,.$

Dass eine Operation vorliegt, folgt aus

${}{\begin{aligned}A_{1}\cdot {\left(A_{2}\cdot (B,C)\right)}&=A_{1}\cdot {\left(BA_{2}^{-1},A_{2}C\right)}\\&=((BA_{2}^{-1})A_{1}^{-1},A_{1}(A_{2}C))\\&=(B(A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}),(A_{1}A_{2})C)\\&=(B(A_{1}A_{2})^{-1},(A_{1}A_{2})C)\\&=(A_{1}A_{2})\cdot (B,C),\end{aligned}}$

woraus auch die Wahl der Reihenfolge und der Grund der Invertierung klar wird. Mit Hilfe der Variablenmatrizen

$X={\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}&\ldots &X_{1n}\\X_{21}&X_{22}&\ldots &X_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m1}&X_{m2}&\ldots &X_{mn}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,Y={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\ldots &Y_{1k}\\Y_{21}&Y_{22}&\ldots &Y_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\ldots &Y_{nk}\end{pmatrix}}$

kann man einfach invariante Polynome aus ${}R=K[X,Y]$ angeben, nämlich die Einträge der Produktmatrix ${}XY$, also die Ausdrücke der Form

${}F_{ij}:=X_{i1}Y_{1j}+X_{i2}Y_{2j}+\cdots +X_{in}Y_{nj}\,.$

Die Invarianz dieser Formen folgt direkt aus der Invarianz der Produktabbildung

$\psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times k}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times k}(K),\,(B,C)\longmapsto BC,$

welche sich direkt aus

${}\psi (A\cdot (B,C))=\psi (BA^{-1},AC)=BA^{-1}AC=BC=\psi (B,C)\,$

ergibt. Darüber hinaus kann man zeigen, dass der Invariantenring von den ${}F_{ij}$ erzeugt wird und auch eine explizite Restklassendarstellung ist bekannt: Wenn man den Polynomring ${}K[W]=K[W_{ij},\,1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq k]$ heranzieht und die surjektive Abbildung

$\pi \colon K[W]\longrightarrow R^{G},\,W_{ij}\longmapsto F_{ij},$

betrachtet, so wird der Kern von ${}\pi$ durch sämtliche ${}n+1$-Minoren der Variablenmatrix ${}W$ erzeugt. Dieser Invariantenring ist daher ein sogenannter Minorenring (oder Determinantenring), und insbesondere lassen sich Minorenringe als Invariantenringe realisieren.

Wenn beispielsweise ${}n=1$ ist, so gibt es die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{m}$ und ${}Y_{1},\ldots ,Y_{k}$ und es ist

${}F_{ij}=X_{i}Y_{j}\,.$

Zwischen den ${}F_{ij}$ bestehen die Relationen

${}F_{ij}F_{rs}=X_{i}Y_{j}X_{r}Y_{s}=X_{i}Y_{s}X_{r}Y_{j}=F_{is}F_{rj}\,,$

d.h.

${}F_{ij}F_{rs}-F_{is}F_{rj}=0\,.$

Diese Relationen sind die ${}2$-Minoren der Matrix ${}(W_{ij})_{ij}$. In diesem Fall ist der Invariantenring sogar ein Monoidring.