Modallogik/K/Axiomenschemata/Textabschnitt

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Box \alpha \rightarrow \alpha$

nennt man Reflexivitätsaxiom.

Durch das Reflexivitätsaxiom wird die eigene Welt bei Möglichkeitsüberlegungen mitberücksichtigt.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Box \alpha$

nennt man Autismusaxiom.

Durch das Autismusaxiom werden andere Welten bei Möglichkeitsüberlegungen nicht berücksichtigt, eventuell noch nicht einmal die eigene Welt. Wenn das Leerheitsaxiom gilt, so auch das Autismusaxiom.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\alpha \leftrightarrow \Box \alpha$

nennt man Fatalismusaxiom.

In diesem Fall gilt auch

$\alpha \leftrightarrow \Diamond \alpha$

und damit auch

$\Box \alpha \leftrightarrow \Diamond \alpha .$

Es gilt als auch das Ideologieaxiom. Im Fatalismus wird die Realität zur Ideologie gemacht.

Die folgenden Axiomenschemata sind sinnvoller, die Bezeichnungen werden sich später erklären, wenn wir die semantische Interpretation zur Verfügung haben.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$

nennt man Symmetrieaxiom.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$

nennt man Transitivitätsaxiom.

Definition

Das modallogische Axiomenschema

$\Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$

nennt man euklidisches Axiom (oder Axiom ${}5$).

Lemma

In einem modallogischen ${}K$-System, in dem das Symmetrieaxiom und das euklidische Axiom gelten,

gilt auch das Transitivitätsaxiom.

Beweis

Es sei ${}S$ das in Frage stehende System. Eine spezielle Instanz des Symmetrieaxioms liefert

$S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Diamond \Box \alpha .$

Eine Umformulierung des euklidischen Axioms ist

$S\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

Mit Fakt  (1) folgt daraus

$S\vdash \Box \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$

und insgesamt mit dem Kettenschluss

$S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$

$\Box$