Von (1) nach (2). Aus den aussagenlogischen Tautologien
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und
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ergeben sich mit
Fakt (1)
die Ableitungen
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und
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Das Phantasiearmutsaxiom liefert
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und über den Kettenschluss
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Daher gilt
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was eben
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bedeutet.
Von (2) nach (1). Aus der aussagenlogischen Tautologie
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ergibt sich mit
Fakt (1)
direkt
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Die Umkehrung des -Axioms mit
liefert
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Eine einfache aussagenlogische Überlegung zeigt ferner
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Der doppelte Kettenschluss liefert
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Da diese Beziehung für jedes gilt, gilt es nach
Fakt (5)
überhaupt für jede Aussage.
Aus (1) folgt (3). Das -Axiom liefert
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und das Phantasiearmutsaxiom liefert
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Dies zusammen ergibt
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Wir schreiben dies als
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Durch Kontraposition bedeutet dies
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Von (3) nach (1). Wir betrachten den Spezialfall
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Durch Kontraposition ist dies
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und durch eine aussagenlogische Umstellung
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Aus der aussagenlogischen Tautologie
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folgt mit der Nezessisierungsregel
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und somit
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mit Modus ponens. Dies bedeutet
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