Modul/Darstellung/Symmetrische Algebra/Bemerkung

Zu einer Moduldarstellung

$R^{m}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

ist die symmetrische Algebra ${}S(M)$ der Restklassenring ${}R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$, wobei ${}{\mathfrak {a}}$ durch lineare Polynome erzeugt wird, die aus der Matrix ablesbar sind. Die Schnitte von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(S(M)\right)}$ entsprechen den ${}R$-Algebrahomomorphismen ${}S(M)\rightarrow R$ und diese den ${}R$-Modulhomomorphismen ${}M\rightarrow R$ und damit insgesamt dem Dualmodul. Die Fasern sind immer affine Räume, aber mit variierender Dimension.

$V[S]/(\pi S)$

ist ein Achsenkreuz. Über einem diskreten Bewertungsring kann man Variablen, die mit einer Einheit als Vorfaktor in eine Gleichung eingehen, grundsätzlich elimininieren. Variablen, die gar nicht vorkommen, tragen zu einem Zylinder bei. Ansonsten sind Gleichungen der Form

${}u_{1}\pi ^{a_{1}}T_{1}+\cdots +u_{n}\pi ^{a_{n}}T_{n}=0\,$

zu betrachten. Dabei gibt es für jede Variable einen minimalen Exponenten.

$V[S,T]/(\pi ^{2}S+\pi ^{3}T).$

Die Gleichung hat einen Effekt, wie sich die Komponenten schneiden, hier ${}V(\pi )$ und ${}V(S+\pi T)$, wo der Schnitt ${}V(\pi ,S)$ ist, also die ${}T$-Achse.

Bei

$V{\stackrel {\pi ^{s}}{\longrightarrow }}V\longrightarrow V/\pi ^{s}\longrightarrow 0$

geht es um ${}V[T]/\pi ^{s}T$, die Schnitte sind der Nullmodul, der Modul selbst ist ein Torsionsmodul.

Ein wie oben dargestellter Modul lässt sich direkt zurückziehen.

ist dual

$0\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow R^{n}\longrightarrow R^{m}$

exakt.