Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist der Quotient ein Modul über . Zu einem Element und einem ist , somit annulliert den Modul und dieser ist daher nach Fakt ein -Modul. Es sei

mit einem freien Modul . Es ist

und

Der Quotient ist dann

Die Dimension von ist also mindestens . Wenn hierbei ein Untermodul ist, in dem der freie Rang von angenommen wird, so besitzt keinen nichttrivialen freien Summanden und auch keinen surjektiven Modulhomomorphismus von nach . Also ist und der rechte Summand ist .