Modul/Nulltest/Lokal/Fakt/Beweis

Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei ${}M\neq 0$ und ${}v\in M$ ein von ${}0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Fakt gibt es ein maximales Ideal

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist ${}M_{\mathfrak {m}}\neq 0$, da es andernfalls ein ${}s\notin {\mathfrak {m}}$ mit ${}sv=0$ geben würde.

Zur bewiesenen Aussage