Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}R'\otimes _{R}M$ ist ein ${}R'$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

   $M\longrightarrow R'\otimes _{R}M,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}R=R'$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{R'}\otimes \varphi \colon R'\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}N$

   ein ${}R'$-Modulhomomorphismus.

4. Zu ${}M=R^{n}$ ist

   ${}R'\otimes _{R}R^{n}\cong {\left(R'\right)}^{n}\,.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus ${}R'\rightarrow R^{\prime \prime }$ ist

   ${}R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\cong R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R^{\prime }\otimes _{R}M\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen