Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Endliche Filtration/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}M=0$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}M\neq 0$. Dann gibt es nach Fakt ein ${}v\in M$ derart, dass

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}={\mathfrak {p}}\,$

ein Primideal ist. Somit liegt ein Untermodul

${}R/{\mathfrak {p}}\cong vR\subseteq M\,$

vor, den wir mit ${}M_{1}$ bezeichnen. Bei ${}M_{1}=M$ sind wir fertig. Andernfalls finden wir im Restklassenmodul ${}M/M_{1}$ wieder ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}[v_{2}]\neq 0$, dessen Annullator ein Primideal ist. Wir setzen ${}M_{2}$ als das Urbild von ${}R\cdot [v_{2}]$ unter der Projektion

$M\longrightarrow M/M_{1}$

an und fahren in dieser Weise fort. So entsteht eine aufsteigende Folge von Untermoduln von ${}M$ mit der besagten Eigenschaft. Diese muss nach Fakt nach endlich vielen Schritten abbrechen.

Zur bewiesenen Aussage