Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M_{1},M_{2},M_{3}$ ${}R$-Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln, wenn ${}M_{1}$ ein ${}R$-Untermodul von ${}M_{2}$ ist, und wenn ${}M_{3}$ ein Restklassenmodul von ${}M_{2}$ ist, der isomorph zu ${}M_{2}/M_{1}$ ist.

Zu einem Untermodul ${}M_{1}\subseteq M_{2}$ gehört stets die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{2}/M_{1}\longrightarrow 0.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und

$0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln. Es sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler für ${}P$.

Dann ist die Sequenz

$0\longrightarrow M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$

ebenfalls exakt.

Beweis

Die Exaktheit von

$M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$

ergibt sich wegen

${}M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,$

(nach Fakt  (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt  (2)). Es ist also noch die Injektivität von ${}M/fM\rightarrow N/fN$ zu zeigen. Es sei hierzu ${}[m]\in M/fM$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in ${}N/fN$ gleich ${}0$ ist. Das bedeutet

${}m=nf\,$

in ${}N$ mit einem ${}n\in N$. Wegen

${}f\psi (n)=\psi (nf)=\psi (m)=0\,$

in ${}P$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist

${}\psi (n)=0\,.$

Das bedeutet ${}n\in M$ und somit

${}[m]=0\,$

in ${}M/fM$.

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