Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element besitzt eine eindeutige Darstellung

und ist die Abbildung, die auf den -ten Koeffizienten abbildet. Wir geben explizit Elementen , mit

an, was bedeutet, dass man jede Linearform als ein -Vielfaches von schreiben kann. Da eine Nullstelle des Polynoms ist, liegt in die Zerlegung

mit einem normierten Polynom

vom Grad vor. Zwischen den Koeffizienten von und besteht der Zusammenhang

Umgekehrt gilt

In Matrixschreibweise besteht also die Beziehung

Die Übergangsmatrix ist also eine (bei dieser Induzierung links oben) Dreiecksmatrix mit auf der Gegendiagonalen, daher ist die Determinante und ist auch eine -Basis.

Zwischen den und besteht der Zusammenhang

wie eine Überprüfung auf den Potenzen von zeigt.