Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element ${}s\in S$ besitzt eine eindeutige Darstellung

${}s=\sum _{i=0}^{n-1}s_{i}x^{i}\,,$

und ${}\epsilon _{j}$ ist die Abbildung, die ${}s$ auf den ${}j$-ten Koeffizienten ${}s_{j}$ abbildet. Wir geben explizit Elementen ${}b_{j}\in S$, ${}j=0,1,\ldots ,n-1$ mit

${}b_{j}\epsilon _{n-1}=\epsilon _{j}\,$

an, was bedeutet, dass man jede Linearform als ein ${}S$-Vielfaches von ${}\epsilon _{n-1}$ schreiben kann. Da ${}x$ eine Nullstelle des Polynoms ${}F$ ist, liegt in ${}S[X]$ die Zerlegung

${}F=(X-x)G\,$

mit einem normierten Polynom

${}G=\sum b_{j}X^{j}\,$

vom Grad ${}n-1$ vor. Zwischen den Koeffizienten von ${}F$ und ${}G$ besteht der Zusammenhang

${}c_{j}=b_{j-1}-b_{j}x\,.$

Umgekehrt gilt

${}b_{n-1}=1\,,$

${}b_{n-2}=c_{n-1}+x\,$

${}b_{n-3}=c_{n-2}+b_{n-2}x=c_{n-2}+c_{n-1}x+x^{2}\,$

$\vdots$

${}b_{0}=c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-2}+x^{n-1}\,.$

In Matrixschreibweise besteht also die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,.$

Die Übergangsmatrix ist also eine (bei dieser Induzierung links oben) Dreiecksmatrix mit ${}1$ auf der Gegendiagonalen, daher ist die Determinante ${}\pm 1$ und ${}b_{j}$ ist auch eine ${}R$-Basis.

Zwischen den ${}\epsilon _{j}$ und ${}\epsilon _{i-1}$ besteht der Zusammenhang

${}x\epsilon _{j}=\epsilon _{j-1}-c_{j}\epsilon _{n-1}\,,$

wie eine Überprüfung auf den Potenzen von ${}x$ zeigt.

Zur bewiesenen Aussage