Monoidring/Z nach Z/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,X^{-1}]\right)}=K^{\times }\,$

   und die Spektrumabbildung ist

   $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{n}.$

2. Das Urbild zu ${}y\in K^{\times }$ ist

   ${\left\{x\in K^{\times }\mid x^{n}=y\right\}}.$

   Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen und ${}n>0$ besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in ${}K$, die bei ${}y\neq 0$ nicht ${}0$ sein kann. Bei ${}n<0$ kann man die Situation invertieren.

3. Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich ${}\vert {n}\vert$. Aufgrund des Isomorphismus

   $K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{-1},$

   kann man ${}n$ als positiv annehmen. Mehr als ${}n$ Lösungen kann es wegen Fakt nicht geben. Es seien ${}\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}$ die ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn ${}x^{n}=y$ ist, so ist auch

   ${}(\zeta x)^{n}=y\,$

   und somit gibt es die ${}n$ (verschiedenen, da ${}x\neq 0$) Lösungen ${}\zeta _{1}x,\ldots ,\zeta _{n}x$.

Zur gelösten Aufgabe