Monom/X^2Y^3/Direkte Darstellung mit linearer Approximation/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,(x+v)^{2}(y+w)^{3}\\&=(x^{2}+2xv+v^{2})(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})\\&=x^{2}y^{3}+(2xy^{3})v+(3x^{2}y^{2})w+(y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3})v^{2}+(6xy^{2})vw+(2xv+x^{2})(3y+w)w^{2}.\,\end{aligned}}$

   Es ist also

   ${}a=2xy^{3}\,,$

   ${}b=3x^{2}y^{2}\,,$

   ${}c=y^{3}+3y^{2}w+3yw^{2}+w^{3}\,,$

   ${}d=6xy^{2}\,,$

   ${}e=(2xv+x^{2})(3y+w)\,.$

2. Es sei ${}(x,y)$ fixiert. Die ersten drei Summanden ergeben die lineare Approximation, das totale Differential ist durch ${}(v,w)\mapsto (2xy^{3})v+(3x^{2}y^{2})w$ gegeben. Die drei hinteren Summanden kann man jeweils in der Form ${}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\cdot r(v,w)$ mit ${}r(v,w)$ stetig mit ${}r(0,0)=0$ schreiben. Es ist nämlich

   ${}\vert {v}\vert ={\sqrt {v^{2}}}\leq {\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\,$

   und ebenso ${}\vert {w}\vert \leq {\sqrt {v^{2}+w^{2}}}$. Daher ist für den ersten Term für ${}(v,w)\neq (0,0)$

   ${}cv^{2}={\sqrt {v^{2}+w^{2}}}\cdot {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,$

   und für

   ${}r(v,w)={\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\,$

   gilt

   ${}{\begin{aligned}\vert {r(v,w)}\vert &=\vert {\frac {cv^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\vert \\&={\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\sqrt {v^{2}+w^{2}}}}\\&\leq {\frac {\vert {c}\vert \vert {v}\vert ^{2}}{\vert {v}\vert }}\\&=\vert {c}\vert \vert {v}\vert .\end{aligned}}$

   Für ${}(v,w)\rightarrow (0,0)$ geht das gegen ${}0$, sodass man ${}r(v,w)$ stetig mit dem Wert ${}0$ fortsetzen kann. Die beiden anderen Term werden entsprechend behandelt.

Zur gelösten Aufgabe