Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt

Es sei

${}V=V{\left(Z^{a}-W^{b}\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\,$

mit ${}a,b$ teilerfremd. Es sei ${}L=V\cap S^{3}$.

Dann ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times L\longrightarrow V\setminus \{0\},\,(u,x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\longmapsto (u^{b}x_{1},u^{b}x_{2},u^{a}y_{1},u^{a}y_{2}),$

eine Homöomorphie. Die Verknüpfung von

$\gamma \colon S^{1}\longrightarrow V\setminus \{0\},\,s\longmapsto \left(e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},\,e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right),$

mit ${}\varphi ^{-1}$ und der Projektion auf ${}L$ ergibt eine Homöomorphie zwischen ${}S^{1}$ und ${}L$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen