Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi$ ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von ${}0$ verschiedenen Punkt

${}{\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\in V\,$

zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn ${}{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1},u^{b}{\tilde {x}}_{2},u^{a}{\tilde {y}}_{1},u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}$, ${}u\in \mathbb {R} _{+}$ durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist

${\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{2}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}^{2}=u^{2b}{\left({\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}\right)}+u^{2a}{\left({\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}\right)}=1\,.$

Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl ${}({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2})$ als auch ${}({\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2})$ von ${}0$ verschieden und daher sind ${}c={\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}$ und ${}d={\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}$ positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form

${}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}=1\,$

vor. Die Gleichung

${}cv^{2}+dw^{2}=1\,$

beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von ${}u,v,w$

${}v=u^{b}\,$

und

${}w=u^{a}\,$

gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in ${}u$. (dies sieht man auch, wenn man ${}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}$ nach ${}u$ ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet). Das legt über ${}x_{1}:=u^{b}{\tilde {x}}_{1}$ etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.

Die Norm von ${}\gamma (s)$ ist wegen

${}\gamma (s)={\left(e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)}={\left(\cos 2bs,\sin 2bs,\cos 2as,\sin 2as\right)}={\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\,$

gleich ${}{\sqrt {2}}$. Es sei ${}u_{0}$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit

${}u_{0}^{2b}+u_{0}^{2a}=1\,.$

Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann

$S^{1}\longrightarrow L,\,s\longmapsto \left(u_{0}^{b}e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},\,u_{0}^{a}e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)=\left(u_{0}^{b}\cos 2bs,\,u_{0}^{b}\sin 2bs,\,u_{0}^{a}\cos 2as,\,u_{0}^{a}\sin 2as\right).$

Zur bewiesenen Aussage