Monomiales Ideal/Produkt/Erzeugergrad/Aufgabe/Lösung

Wir wählen den Polynomring

$K[X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},Y_{1},Y_{2},Y_{3},Y_{4},Y_{5}]$

über einem beliebigen Grundkörper (oder Grundring ${}\neq 0$) und betrachten die Ideale

${}{\mathfrak {a}}=(X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5},{\text{ alle Monome vom Grad }}2{\text{ außer }}X_{i}X_{j}{\text{ mit }}i\neq j)\,$

und

${}{\mathfrak {b}}=(Y_{1}Y_{2}Y_{3}Y_{4}Y_{5},{\text{ alle Monome vom Grad }}2{\text{ außer }}Y_{i}Y_{j}{\text{ mit }}i\neq j)\,,$

die Variablen sind also vertauscht. Für beide Ideale ist der maximale Grad eines Erzeugers gleich ${}5$, da sich ${}X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}$ nicht mit den anderen Monomen darstellen lässt. Wir behaupten, dass das Produktideal von Monomen vom Grad ${}d=4$ erzeugt. Wegen der Symmetrie der Situation folgt dies aus (jeweils mit einem geeigneten ${}Q$)

${}X_{1}\cdots X_{5}Y_{1}\cdots Y_{5}=(X_{1}Y_{1})(X_{2}Y_{2})Q\,,$

${}X_{i}^{2}Y_{1}\cdots Y_{5}=(X_{i}Y_{1})(X_{i}Y_{2})Q\,,$

${}X_{i}Y_{j}Y_{1}\cdots Y_{5}=(Y_{1}Y_{2})(X_{i}Y_{j})Q\,$

und

${}Y_{i}Y_{j}Y_{1}\cdots Y_{5}=(Y_{i}^{2})(Y_{j}^{2})Q\,.$

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