Monotone Konvergenz/Einfache Treppenfunktionen/Fakt

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare nichtnegative numerische Funktion.

Dann ist das Integral ${}\int _{M}f\,d\mu$ gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen ${}s\leq f$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen