Multiplikatives System/Primelemente/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${}1\in S$,
2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$,

gelten.

Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes. Wir erwähnen einige Beispiele von multiplikativen Systemen. Zunächst ist natürlich der Gesamtring, die Menge ${}\{1\}$, die Menge ${}\{0,1\}$ und die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ ein multiplikatives System. Darüber hinaus erwähnen wir die folgenden Beispiele.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von ${}0$ verschiedenen Elemente in ${}R$ ein multiplikatives System, das mit ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

Beispiel

Die Nichtnullteiler bilden ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring. Die ${}1$ ist wie jede Einheit ein Nichtnullteiler, und wenn ${}f$ und ${}g$ Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus ${}f(gh)=0$ zunächst ${}gh=0$ und daraus ${}h=0$ folgt.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und sei ${}M$ eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus ${}R$, in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus ${}M$ vorkommen, ein multiplikatives System ${}S$. Es ist also

${}S={\left\{up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\mid u\in R^{\times },\,p_{i}\in M\right\}}\,.$

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.