N mit unendlich/Halbring/Gabi Hochster/Aufgabe

Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ um ein weiteres Symbol ${}\infty$ (sprich unendlich) erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit ${}\mathbb {N} ^{\infty }$. Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar derart, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben.

1. Wie legt Gabi die Ordnung fest?
2. Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome?
3. Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol ${}\infty$ arbeiten.
4. Gilt mit dieser Addition die Abziehregel?
5. Zuerst denkt sie an die Festlegung

   ${}0\cdot \infty =1\,,$

   doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum?

6. Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus Fakt und aus Fakt nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest?
7. Handelt es sich bei ${}\mathbb {N} ^{\infty }$ mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen kommutativen Halbring?
8. Gilt die Kürzungsregel?

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