Natürliche Zahlen/Addition/Nachfolgerzählen/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt

Die Addition auf den natürlichen Zahlen ist eine vertraute Operation und es gibt viele Möglichkeiten, sie einzuführen. Je nach Kontext und Absicht sind unterschiedliche Ansätze besser geeignet. Zur rechnerischen Definition der Addition ist etwa das schriftliche Addieren im Dezimalsystem besonders effektiv, während zum Nachweis der Assoziativität die inhaltliche Interpretation als disjunkte Vereinigung von Mengen sinnvoll ist. Um ein klares Fundament zu haben, muss man sich bei einem systematisches Aufbau der Mathematik dafür entscheiden, was man als Definition nimmt, und dann beweisen, dass der gewählte Zugang auch andere Charakterisierungen erlaubt und somit mit anderen Zugängen übereinstimmt.

Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar allein unter Bezug auf das Nachfolgernehmen, das das Zählen charakterisiert. Das Nachfolgernehmen ist ein Prozess, den man iterieren kann. Sowohl der Startwert des Nachfolgernehmens als auch die Anzahl, wie oft ein Nachfolger genommen werden soll, wird durch natürliche Zahlen beschrieben. Die ${}k$-fache Durchführung eines Prozesses bedeutet, dass er so oft durchgeführt wird, wie es die Menge ${}\{1,\ldots ,k\}$ vorgibt.

Definition

Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ${}n$ ausgehend ${}k$-fach den Nachfolger nimmt.

Die Operation heißt die Addition und die beteiligten Zahlen nennt man die Summanden. Nach dieser Definition wird also ausgehend von ${}n$ der Nachfolgerprozess ${}k$-fach durchgeführt. Bei ${}k=0$ ist dies als der nullte Nachfolger, also als ${}n$ selbst, zu verstehen. Bei ${}k=1$ ist dies der erste Nachfolger, ${}n+1$ ist also die erste Zahl ${}n^{\prime }$ nach ${}n$. Die Summe ${}n+k$ ist also ${}n^{\prime \prime \ldots \prime }$ mit ${}k$ Nachfolgerstrichen. Wenn umgekehrt

${}n=0\,$

ist, so ist der ${}k$-te Nachfolger der ${}0$ gleich ${}k$. Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist, das wird sich aber gleich ergeben.

Das kleine Einsundeins. Das Umlegungsprinzip schlägt sich in der Additionstabelle darin nieder, dass in den Linksunten nach Rechtsoben-Diagonalen konstante Werte stehen.

Lemma

Für die Addition der natürlichen Zahlen (mit der in Definition festgelegten Addition) gelten die folgenden Aussagen.

1. ${}n+0=n=0+n\,$

   für alle ${}n$, d.h. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition.

2. ${}n+k'=(n+k)'=n'+k\,$

   für alle ${}n,k\in \mathbb {N}$ (Umlegungsregel).

3. Die Addition ist kommutativ.
4. Die Addition ist assoziativ.
5. Aus einer Gleichung ${}n+k=m+k$ folgt

   ${}n=m\,$

   (Abziehregel).

Beweis

1. Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der ${}n$-te Nachfolger der ${}0$ gleich ${}n$ ist.
2. Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das gleiche: Links geht man von der Zahl ${}n$ aus und nimmt einmal öfters als ${}k$-mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man ${}k$-fach den Nachfolger von ${}n$ und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von ${}n$ den Nachfolger und davon dann ${}k$-fach den Nachfolger.
3. Es ist

   ${}n+k=k+n\,$

   für alle ${}k,n$ zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über ${}k$ für alle ${}n$. Bei ${}k=0$ steht beidseitig ${}n$ nach Teil (1). Es sei die Gleichheit nun für ein ${}k$ (und alle ${}n$) schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

   ${}n+k^{\prime }=(n+k)^{\prime }=(k+n)^{\prime }=k^{\prime }+n\,,$

   die Gleichung gilt also auch für ${}k^{\prime }$.

4. Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit

   ${}(m+n)+k=m+(n+k)\,,$

   durch Induktion über ${}k$ (für alle ${}m,n$ gleichzeitig). Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt

   ${}(m+n)+k^{\prime }=(m+n)^{\prime }+k=(m+n^{\prime })+k=m+(n^{\prime }+k)=m+(n+k^{\prime })\,.$

5. Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über ${}k$. Der Fall

   ${}k=0\,$

   ist klar. Es sei also die Aussage für ein ${}k$ schon bewiesen und sei eine Gleichung der Form

   ${}m+k^{\prime }=n+k^{\prime }\,$

   gegeben. Dann ist nach der Umlegungsregel auch

   ${}m^{\prime }+k=n^{\prime }+k\,.$

   Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit

   ${}m^{\prime }=n^{\prime }\,.$

   Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, ergibt sich

   ${}m=n\,.$

$\Box$

Für einige alternative Begründungen siehe die Aufgaben. Teil (2) kann man auch so verstehen, dass man eine Summe ${}n+k$ dadurch berechnen kann, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht (also den Nachfolger nimmt) und den zweiten um eins vermindert (also den Vorgänger nimmt), falls ${}k\neq 0$ ist. Dies macht man so lange, bis der zweite Summand ${}0$ ist. Der dabei entstandene neue erste Summand ist die Summe. Statt Umlegungsregel sagt man auch Umlegungsprinzip oder man spricht von einer „gegensinnigen Veränderung“, was auch oft bei Rechnungen effektiv eingesetzt wird, wenn man etwa ${}19+41=20+40=60$ rechnet. Die folgende Aussage besagt, dass durch das Umlegungsprinzip die Addition bereits festgelegt ist.

Satz

Auf den natürlichen Zahlen

gibt es genau eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

mit

$x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$

Beweis

Die Addition erfüllt nach Fakt  (1, 2) diese Eigenschaften.

Es seien zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}*$ auf ${}\mathbb {N}$ gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

${}x+y=x*y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {N}$ beweisen. Dies machen wir durch Induktion über ${}y$ (für beliebige ${}x$). Bei

${}y=0\,$

ist wegen

${}x+0=x=x*0\,$

die Aussage richtig. Es sei die Aussage nun für ein bestimmtes ${}y$ schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung

${}x+y^{\prime }=(x+y)^{\prime }=(x*y)^{\prime }=x*y^{\prime }\,.$

$\Box$