Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Hilfseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Gleichung links ergibt sich direkt aus der Definition, die rechte Gleichung, also ${}\alpha _{0}(n)=n$, folgt aus einer einfachen Induktion nach ${}n$.

(2). Die linke Gleichung folgt direkt aus der Definition, die rechte besagt ${}\alpha _{n^{\prime }}(k)=(\alpha _{n}(k))^{\prime }$. Wir beweisen sie für beliebiges ${}n$ durch Induktion über ${}k$. Bei ${}k=0$ steht beidseitig ${}n^{\prime }$. Es sei die Aussage nun für ${}k$ schon bewiesen und betrachten wir ${}k^{\prime }$. Dann ist

${}\alpha _{n^{\prime }}(k^{\prime })=(\alpha _{n^{\prime }}(k))^{\prime }=((\alpha _{n}(k))^{\prime })^{\prime }=(\alpha _{n}(k^{\prime }))^{\prime }\,.$

Für die anderen Aussagen siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage