Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Schnittpunkte/Motivation/Beispiel

Wir möchten für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus ${}n+1$ Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Für kleinere Zahlen ${}n$ stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das ${}n$ um ${}1$ erhöhen, so wie wir in Beispiel die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand ${}n+1$ hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von ${}{\frac {n(n+1)}{2}}$ nach ${}{\frac {(n+1)(n+1+1)}{2}}$. Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls ${}n+1$ ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen ${}n$, etwa für ${}n=1$. Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste ${}n$, also für ${}n=2$, durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste ${}n$, u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl.