Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe/Lösung

Bei ${}s=t$ sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also ${}s\neq t$. Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte ${}\left(s,\,s^{3}\right)$ und ${}\left(t,\,t^{3}\right)$ ist

${}{\left(t^{3}-s^{3}\right)}x-{\left(t-s\right)}y=st^{3}-ts^{3}\,.$

Hierbei kann man überall ${}t-s$ ausklammern und erhält die Gleichung

${}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}x-y=(t+s)st\,.$

Wir setzen nun den Punkt

${}(x,y)=\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\,$

in die Geradengleichung ein und erhalten

${}{\begin{aligned}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}{\left(-(s+t)\right)}+(s+t)^{3}&=-t^{3}-2t^{2}s-2ts^{2}-s^{3}+s^{3}+3s^{2}t+3st^{2}+t^{3}\\&=s^{2}t+st^{2},\end{aligned}}$

der Punkt liegt also auf der Geraden.

Zur gelösten Aufgabe