Neilsche Parabel/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve

${}C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass ${}P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass man auf ${}C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
3. Zeige, dass die Normalisierungsabbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v,u^{3},v^{3}),$

   bijektiv ist.

4. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf

   ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}=D_{+}(v)={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1)\}\,$

   einen Gruppenisomorphismus zwischen ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist.

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